Starbug1で定期的にバックアップを行ないたい場合は、${インストールディレクトリ}/db/starbug1.db をバックアップしてください。starbug1.dbは、ただのSQLite3のデータベースファイルです。

例えばcronに登録する場合は以下のようにcrontab -e で設定すれば、バックアップできます。

# /var/www/html/starbug1 にインストールされたStarbug1のデータベースを、
# 毎日1:00に、gzipで圧縮して /var/backup 以下に保存する場合です。
0 1 * * * gzip -c /var/www/html/starbug1/db/starbug1.db > /var/backup/starbug1.db_$(date +%Y%m%d).gz

バックアップとは関係ないですが、データの保存形式が、ただのSQLite3のデータベースファイルなので、頑張れば、Starbug1の画面上から取得できない統計情報なども、perlやrubyなどのSQLite3のバインドがある言語で取得できます。